Textaufgaben

Textaufgaben

Warum stellen Textaufgaben viele SchülerInnen auch dann vor große Probleme, wenn sie die mathematischen Zusammenhänge bereits verstanden haben. Fast scheint es, als läge der Grund nicht in mangelndem mathematischen Verständnis, sondern in der Fähigkeit zu übersetzen:

  • Deutsch — Mathe
  • Mathe — Deutsch

Brüche

1   :     3   =   1/3

1   :   1/3   =    3

Diese zwei Gleichungen sehen auf den ersten Blick ganz ähnlich aus: in beiden Fällen teilen wir und es sind Brüche involviert. Sehen wir sie uns in Bildern an:

Jetzt sehen (=verstehen) wir, dass beiden Gleichungen dasselbe Bild  zugrunde liegt:

  • In der ersten Variante wollten wir wissen, wie groß die Stücke sind, die jeder abbekommt.
  • Das andere mal legten wir die Größe fest und wollten herausfinden, für wieviele Personen diese Einteilung reicht.

Dass wir gegensätzliche Aufgaben mit einem einzigen Werkzeug und ein und sogar vielfach ein und dasselbe Problem auf verschiedenen Wegen lösen können, ist einer der großen Vorteile der Mathematik. Doch nicht immer gestaltet sich das Zusammenspiel zwischen der Realität und der Mathematik so problemlos. Sehen wir uns einen anderen Fall an, in dem allein die Wahl der Worte einen starken Einfluss darauf hat, ob wir überhaupt verstehen, was denn hier gemeint ist; ob die SchülerInnen im Kopf (=Mensch) landen, oder in den Sinnen (=Tier).

„Was ist 1 geteilt durch  1 Millionstel?“

Sollten die Kinder hierauf eine Antwort geben, ist sie mit großer Wahrscheinlichkeit falsch. Fragen wir jedoch…

Wie oft passt 1 Millionstel in „1“?

…dann schnellen innerhalb einer Sekunde 20 Finger selbstsicher in die Höhe und die Mehrheit gibt die richtige Antwort. Auf die Frage „Wieviel ist 1 geteilt durch Null“ stehen die Chancen groß, dass wir als Antwort: „Null“ erhalten. Fragen wird jedoch: „Wie oft passt die Null in die „1“, dann strahlen uns die Kinder an: Unendlich oft.

Im ersten Beispiel drücken sich  zwei verschiedene Fragen in einer sehr ähnlichen mathematischen Formulierung aus. Im zweiten Fall ist es genau anders rum: Zwei verschiedene sprachliche Formulierungen für ein und dasselbe Problem führen zu zwei sehr unterschiedlichen „Ergebnissen“. Wie es scheint, hat die Qualität der sprachlichen Fragestellung einen nicht geringen Einfluss auf die Qualität der mathematischen Antwort.

Dreisatz

3 kg Kartoffeln kosten 6 Euro. Wieviel bekommen wir dann für 13 €?

Mathematisch formuliert könnte die Frage wie folgt aussehen:


Wir müssten nur mit 13 € multiplizieren, und könnten dann in den Taschenrechner eintippen. Fertig. Doch wenn einem Bilder wichtig sind, klingt der Gedanke „ kg geteilt durch €“ einfach zu absurd. Lesen wir den mathematischen Ausdruck (sprachlich) etwas anders, dann gibt es diese Widerstände nicht:

Worte oder Bilder

Kein Rechenzeichen beschreibt so viele unterschiedliche Sachverhalte und hat so viele verschiedene sprachliche Bedeutungen wie das „ : “  bzw. der Bruchstrich:

  • Geteilt durch
  • Entsprechen
  • Aufgeteilt auf
  • Wie oft passt?
  • …zu…
  • …pro…
  • Von den unendlich vielen syntaktischen Varianten ganz zu schweigen: 3 kg Tomaten kosten 6€, wieviel kosten, ….
  • Und es soll schon vorgekommen sein, dass eine Textaufgabe so komisch formuliert war, dass sogar der eine oder andere Lehrer Minuten brauchte, um herauszufinden, wie genau sie zu verstehen sei.

Die geometrische Interpretation des Dreisatzes  —gestreckte, ähnliche Dreiecke— deckt buchstäblich alle dieser sprachlichen Varianten ab. Und es würde mit etwas Übung bei hundert verschiedenen sprachlichen Ausdrücken ein und dasselbe Bild vor unseren Augen stehen:

Womit wir wieder bei den Augen wären und dem „esprit de finesse“. Bevor die Kinder abstrakt denken (= fliegen) können, müssen wir sie sehen lehren.  Versäumen wir das und sind die Kinder dann erst einmal überzeugt, dass es in Mathe immer nur ums Denken geht, dann kann es schon mal Monate dauern, bis sie diese irrige Überzeugung fallen lassen. Und gleiches gilt, wenn sie erst einmal verstanden haben, in Mathe ginge es um Wissen (= Erinnerung = Vergangenheit). Dann werden sie in dem Moment, in dem sie suchen müssen (= Nichtwissen = Zukunft), an sich selber zweifeln und uns sagen: Das versteht ich nicht!

Um es auf den Punkt zu bringen: Kein Kind sollte in einem Fach (Mathe) eine schlechtere Note bekommen, weil es in einem anderen (Deutsch) Defizite hat. Und wir dürfen das Sehen auch erst dann bewerten, wenn es uns so wichtig ist, dass Rechnen ohne Sehen sinnlos ist. Mit anderen Worten: Erst dann, wenn die Kinder durch und durch verstanden haben, dass es in Mathe nicht zuerst ums Denken oder Wissen geht. Denn wenn wir das tun, fühlen sich die Kinder hilflos, dumm oder ungerecht behandelt. Jede dieser Reaktionen wirkt sich negativ auf das Verhältnis des Kindes zu dem ganzen Fach aus. Und genau das müssen wir um jeden Preis vermeiden. Denn sonst machen sie die Augen zu und weigern sich zu werden, was sie sind: Mathematische Wesen.

Neurobiologische Fallen

Nehmen wir noch zwei weitere Beispiele, die vielleicht nicht ganz in den Bereich Übersetzungsschwierigkeiten gehört, die jedoch ein Licht darauf werfen kann, welcher Art die Missverständnisse sind, denen die SchülerInnen auf ihrem Lernweg täglich begegnen:

In einer Studie in Australien wurde einer Gruppe Probanden 20 Rätsel gestellt, deren Lösung —im Bild gesprochen— jedesmal in Richtung 1 Uhr zu finden war. Ohne größere Schwierigkeiten fanden alle Probanden die Lösung.
Bei Rätsel 21 war die Lösung dann —entgegen der gewachsenen unbewussten Erwartung— Richtung 11 Uhr zu finden. Jetzt fanden die Probanden die Lösung erst, nachdem eine bestimmte Region im Gehirn chemisch „lahmgelegt“ wurde.

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Das erste Viereck, das viele SchülerInnen kennen lernen, ist das Quadrat:

Eine Woche später ist das Rechteck an der Reihe:

Ein Jahr später steht  das Parallelogramm auf dem Lehrplan :

Diese didaktische Reihe folgt der Überzeugung, wir müssten es den Kindern einfach machen. Und das Quadrat ist —das wissen alle— das einfachste aller Vierecke und das Parallelogramm stellt im Vergleich zu den ersten beiden eine ganz neue Dimension dar. So die Überzeugung. Und schneller als wir ahnen weiß das Gehirn wo „der Hase langläuft“:  Die wichtigen Informationen sind immer am Rand zu suchen.
Wenn wir den Kindern dann endlich dasjenige Viereck vorstellen, das ihnen etwas darüber erzählen könnte; dasjenige, das ihnen sichtbar macht, wie Flächen aus einer Grundlinie herauswachsen und dass die wichtigen Informationen nicht immer nur am Rand zu finden sind (= das Parallelogramm), steckt das Gehirn derKinder bereits fest und versteht die Welt nicht mehr. Es bräuchte jetzt schon ein chemisches Lösungsmittel, dass ihren Denk-LKW rückwärts aus der Sackgasse holt.

Für die Nicht-Mathematiker sei hinzugefügt: Auch das Quadrat und das Rechteck sind letztlich „nur“ ein Parallelogramm. Würden wir bei diesem anfangen, dann wären beide nichts anderes als einfache Sonderfälle. Darüber, wie wir deren Fläche berechnen, müssten wir dann nicht mehr eigens reden. Im Gegenteil: wir können darauf hinweisen, dass auch eine Million anderer Figuren, die gar nicht zu den regelmäßigen Vierecken gehören, mit derselben Formel berechnet werden können: A = g*h.

Wir oft geht die didaktische Reihe vom —nur scheinbar einfachsten— Sonderfall aus. Sie sind so einfach und so besonders, dass die Besonderheiten wichtiger sind, als die Prinzipien:
In der ersten Klasse lernen die Kinder die natürlichen Zahlen kennen: also  die positiven ganzen Zahlen. Da es es noch keine anderen Zahlen gibt, lassen wir alle einschränkenden Adjektive weg: natürlich, positiv, ganz. Den sonst müssten wir sofort unbequeme Fragen beantworten: ob es auch unnatürliche Zahlen gibt, negative und nicht ganze. Sofort lägen —so sehr wie es vermeiden wollen— alle Zahlen auf dem Tisch. Zahlen also.

  • Wir lassen also das Vorzeichen „+“ weg.
  • Verschweigen, dass das Rechenzeichen noch eine Richtungsbedeutung in sich trägt und dass Übergang zwischen beiden —Vor- und Rechenreichen— fließend ist.
  • Wir verschweigen, dass wir hier in einer Einheit rechnen (Ganze) und dass es noch andere Einheiten gibt. Warum sollten wir das tun, wo wir doch noch mindestens 3 Jahre in nur einer einzigen Einheit rechnen, und das Um-rechnen in eine andere Einheit noch nicht möglich ist. Das verschieben wir auf später, wenn die Brüche an der Reihe sind.

Mit jedem neuen Schritt offenbaren wir den SchülerInnen ein wenig mehr von der mathematischen Wirklichkeit. Leider ist auf diesem Weg der Unterschied zwischen dem bisherigen Verständnis und der Neuerung nur selten so klein, wie der zwischen 11 Uhr und 1 Uhr. Nur allzu of fühlt sich der Richtungswechsel an wie eine 180° Kehrtwende. Hier bricht mit jedem Zick-Zack-Schlag eine Welt zusammen. Davon, dass die Schüler nicht in einem Labor sitzen und schon nach 1 h an die Grenze stoßen, an der der Widerspruch  mittels der Chemie zu lösen ist. Hier folgen die Widersprüche im Jahrestakt.

Wie schnell wächst den Kindern der Eindruck, die Mathematik sei ein zusammenhängender Haufen von sich immer aufs neue widersprechenden Regeln und Gesetzen. Wie schnell kommen sie deshalb zu der —falschen— Überzeugung, es gäbe nichts zu sehen und Mathe wäre nur für den Verstand. Wie schnell verwechseln sie diejenige Wissenschaft, die ihnen die Augen für die Welt öffnen soll, mit einer, in der letztlich nur das Wissen  zählt. Denn Denken—der Schluss von A auf B, der Schluss vom Quadrat auf das Parallelogramm— stellt sich nur allzu schnell als Irrweg raus.

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Dass es sich lohnt, die Schnittstelle zwischen den Bildern der Mathematik und denen der Sprache durchgängiger zu machen steht außer Frage. Doch vielleicht sollten wir diese Kompetenz besser nicht auch noch im Mathematikunterricht benoten, wenn wir nicht sicher sind, dass das Kind hier tatsächlich mit Mathe kämpft. Vielleicht sollten wir sicherheitshalber die Ursachen immer außerhalb der Kinder suchen. Vielleicht stecken ja auch nur wir Erwachsene in einer neurologischen Sackgasse und bräuchten „Lösungsmittel“.

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