Es ist an der Zeit, dass ich Ihnen vorstelle, was denn überhaupt Fraktale sind, und wo sie sie sich direkt vor unseren Augen   … fast hätte ich gesagt „verstecken“. Doch das stimmt nicht. Sie verstecken sich nicht. Genau das Gegenteil ist der Fall: Wir sehen sie nur nicht, obwohl sie allgegenwärtig sind. Und auch das ist nicht wahr. Denn wir sehen sie natürlich. Doch wir wissen in den meisten Fällen nichts davon. Fraktale sind vielleicht das wichtigste Kriterium, anhand dessen unser Gehirn entscheidet, ob etwas wirklich wichtig ist. Und sie sind einer der Gründe, warum wir glücklich sind.

Wir haben es uns zur Gewohnheit gemacht, bei jedem neuen Thema und Aspekt zu fragen, was denn die Rollen des Bewusstseins und des Unbewussten sind. Stellen wir uns also zuerst auch hier die Frage, wer denn von beiden überhaupt glücklich ist: Mensch oder Tier. Hätte ich  gefragt, ob eher das Bewusstsein oder das Unbewusste glücklich ist, wäre mir diese Frage sicher komisch vorgekommen. Doch so zögere ich nicht einen Augenblick: Emotionen sind die Sprache des Tieres.
Der erste Grund dafür, dass wir glücklich sind, liegt in dem was Mihaly Csikszentmihalyi Flow nennt. Maria Montessori nennt es Polarisation der Aufmerksamkeit. Und in der Terminologie von Fraktales Lernen würde ich formulieren: Glück ist die Folge davon, dass Mensch und Tier beim Lernen gleichberechtigt sind. Im Grunde meinen —meiner Meinung nach— alle drei dasselbe.
Wenden wir uns also dem zweiten Grund zu, womit sich hoffentlich auch klärt, was Fraktales Lernen mit Fraktale zu tun hat.

Fractal Stills

Selbst-Identische Fraktale

Der Name Fraktale geht auf Benoit Mandelbrot zurück, der diesen 1975 prägte, um uns —und vor allem den Mathematikern— die Augen dafür zu öffnen, dass die Natur gar nicht chaotisch ist, sondern —ganz im Gegenteil— ganz einfachen Verzweigungsregeln folgt. Der Begriff trägt in sich das lateinische Verb frangere – zerbrechen. Benoit Mandelbrodt erinnerte das, was er entdeckt hatte, an eine schon 100 Jahre alten Bereich der Mathematik, der so absurde Konsequenzen hatte, dass man das, was hier passierte, lange nicht für Mathematik hielt. Man gab den „Kurven“ sogar den Namen Monsterkurven. Eine der ersten dieser „Monster“ war die Cantor-Menge:

Hier wurde im wahrsten Sinn des Wortes zerbrochen. Die Regel: Man teile eine Strich in drei gleichlange Stücke und nehme den mittleren davon weg. Mit den verbliebenen Strichen wiederholt man das Ganze: teilen, wegnehmen.  Immer und immer wieder neu. Die Schneeflocke von Helge von Koch ist ein anderes berühmtes Beispiel:

Hier ist der Ausgangspunkt ein Dreieck: Wir teilen wieder durch drei und ersetzen das mittlere Drittel durch eine neue Spitze. Immer und immer wieder. Wer gerne staunt, dem sei mitgeteilt, dass diese Kurve mit jeder Wiederholung länger wird. Bei unendlich viele Wiederholungen unendlich lang. Egal, wie tief wir in sie hinein-zommen— Fraktale sehen immer gleich aus. Sie sind die häufigsten, komplexesten, einfachsten und schönsten Muster, die die Natur zu bieten hat.

Selbstähnliche Fraktale

Jeder Baum ist ein Fraktal. Kein mathematisches in dem Sinn, dass er selbst-identisch wäre. Er ist selbst-ähnlich:

Und wenn wir nur einen Augenblick innehalten, merken wir, dass es gar nicht anders sein kann. Denn die Natur will  ja nicht für jede Stufe des Wachstums ein neues Prinzip festlegen müssen.

     

Ein und dieselbe Wachstumsstruktur kommt also in vielen verschiedenen Größen vor. Haben wir Fraktale erst einmal in unser Bewusstsein gehoben, dann finden wir sie überall: in den Adern und Nerven, Galaxien und Küstenlinien, Wellen und  Wolken…

Fraktales Glück

In der schieren Menge, in der ein und dasselbe Muster in vielen verschiedenen Größen in einer und derselben „Sache“ vorhanden ist, schreien uns die Fraktale gewissermaßen an: „Sieh her, wie wichtig ich bin. Du siehst mich hunderttausend mal und ich bin sogar noch in mir selbst enthalten.“
Doch Wichtigkeit allein macht noch nicht automatisch glücklich. Ein Gehirn ist glücklich, wenn es Muster neu entdeckt. Warum? Stellen wir uns ein Gehirn auf freier Wildbahn vor. Sollte es ein Muster übersehen oder es mit einem anderen verwechseln —es hält zum Beispiel eine Schlange für einen Stock— dann hat dieser Fehler (statistisch betrachtet) den sicheren Tod zur Folge. Wenn Gehirn also ein neues Muster versteht und dabei auch noch am Leben bleibt, hat es Glück gehabt. Doch damit nicht genug: Jedes neue Wissen erhöht sogar die Aussicht auf ein langes Leben. Mustererkennen und nicht sterben ist buchstäblich lebenswichtig und macht doppelt glücklich! Sollte es uns gelingen, Schulstoff in wichtige Muster zu gießen, dann gäbe es kein größeres Glück.

Fraktale in der Schulmathematik

Fraktale sind Muster in Mustern in Mustern. Auch die Schul-Mathematik ist voll von ihnen. Leider sehen wir die mathematischen Zusammenhänge  immer nur durch die Brille derer, deren Beruf es ist, uns etwas nahe zu bringen. Und leider geben diese jeder neuen Variante immer einen neuen Namen und verwenden in jeder Formel andere Buchstaben, damit wir unterscheiden können. Leider fangen sie immer beim einfachsten Vertreter an, der gleichzeitig kaum noch Prinzip in sich. Sie Kinder sehen keine Muster mehr.

Die Wahrscheinlichkeitsehre ist einer der wenigen Themen, in denen die Mathematik uns tatsächlich ein Fraktales Muster zeigt: einen Baum. Es gibt ihn in zwei verschiedenen Varianten:

• Bäume, die das Würfeln erklären, sind selbst-identisch.
• Und beim „Ziehen ohne Zurücklegen“ ist der Baum selbst-ähnlich:

Auch der Dreisatz kommt in vielen selbst-ähnlichen Varianten vor:

Und wir könnten an dieser Stelle auch von Pyramiden- und von Kegelstümpfen sprechen und von vielem mehr. Je mehr Vorkommen ein und desselben Prinzips wir nebeneinander stellen würden, desto schneller würde das Gehirn der Schüler ein Muster sehen — und wäre glücklich.

Fractal Art

Seit Benoit Mandelbrot der Mathematik die Augen öffnete und zeigte, dass die Natur kein Chaos ist, sondern einfachen mathematischen Regeln folgt, sind Fraktale allgegenwärtig und waren anfangs sogar Popkultur:

Heute sehen wir uns die Verzweigungsstruktur des Baumes an und messen, wieviel Sauerstoff ein einziges Blatt produziert. Nur mit diesen beiden Informationen können wir berechnen, wie wichtig der ganze Wald ist. Jetzt können nicht nur Elefanten schöne Bilder malen, sondern auch Computer. Bilder, die so schön sind, dass viele sie als Kunst betrachten, an ihre Wände hängen:

  

Moving Fractals

Doch noch weit zahlreicher dürfte eine andere Art Fraktale sein, die zu dokumentieren wir bewegte Bilder brauchen. Denn sie ähneln eher Mobiles, die wir den Kindern an die Decke hängen:

Meine Augen sehen unterschiedlich große Stangen. Doch damit wären wir wieder bei Bildern. Bei sichtbaren selbstähnlichen Verzweigungsstrukturen und wir müssten kein neues Kapitel aufmachen. Was diese Stangen interessant macht, ist ihre Bewegung. Denn alles, was sich in irgendeiner Weise hin und her bewegt, zeichnet eine Sinus-Welle. Hier schwingen also 15 Hebel-Stangen gleichzeitig auf und ab. Jede in einer eigenen Frequenz. Und ich kann ahnen, dass sich sie auch noch im Kreis drehen. Und auch wenn es mir schwer fällt, es zu sehen, weiß ich, dass jede Kreis-Bewegung sich aus zwei weiteren Sinus-Wellen zusammensetzt, die senkrecht aufeinander stehen.
Ganz nebenbei malt also jedes Mobile eine Kaskade von dreidimensionalen Sinus-Wellen in das Raum-Zeit-Kontinuum. Meinen unbewussten Augen bleiben diese Wellen nicht verborgen. Sie auch noch bewusst wahrzunehmen, braucht es Zeit und Muße. Wären Mobiles jedoch nur in Kinderzimmern zu finden, wären sie bestenfalls ein Kuriosum und es gäbe keinen Grund, ihnen ein eigenes Kapitel in zu widmen. Doch einfach alles, was sich hin und her bewegt, einfach alles, was schwingt, zeichnet eine Sinuswelle. Auch der menschliche Körper. Mehr noch: wenn wir genau hinsehen, führt jeder Teil des Körpers seinen eigenen kleinen Tanz auf. Jeder Körper ist ein Mobile.

Wer Wellen-Fraktale sehen lernen will, könnte zum Beispiel alle zwei, drei Tage eine Runde mit den Inlinern auf dem Tempelhofer Flugfeld drehen. Auf dem äußeren Ring rund um den ehemaligen Flugplatz sind vor allem Läufer, Radfahrer und Inline-Skater unterwegs. Einigen davon nähern wir uns von hinten und es dauert eine ganze Zeit, bis wir zum Überholen ansetzen. Andere drehen den Spieß um und überholen uns, und wir sehen sie langsam kleiner werden. Wieder andere kommen uns entgegen. Jetzt läuft der Film deutlich schneller und wir sehen auch die andere Seite.

Je mehr Runden ich um den Flugplatz drehe und je öfter und länger ich hinter anderen Läufern, Radfahrern und Skatern hinterher fahre oder diese mir entgegenkommen, desto mehr von deren Schwingungen schaffen es, in mein Bewusstsein einzudringen.

Jeder der drei Sportler übt seine Kraft in eine andere Richtung aus:

• Der Radfahrer gleicht einem Treppensteiger. ´
• Der Skater muss zur Seite drücken.
• Nur der Läufer bewegt sich nach vorne, indem er die Straße in der Bewegungsrichtung unter sich hindurch nach hinten zieht.

Die Schwingungen der Füße, Ellbogen, des Kopfes und jedes anderen Körperteiles ähneln einander und sind doch immer anders.

Skater

Beim unerfahrenen Skater überwiegt die Sorge um die Sicherheit: er fährt auf Schienen. Und da sein „Laufbein“ niemals über dem Schwerpunkt Ruhe findet, müssen beide immer schneller pendeln, wenn der Skater schneller fährt.

Der sportliche Skater hingegen balanciert gewissermaßen auf der Mittellinie. Nach jedem Schub fliegen Bein und Schwerpunkt gemeinsam in eine Richtung. Und so wie der Segler wesentlich schneller quer zum Wind als mit ihm fahren kann, hängt es vor allem von seiner Technik ab —und seiner Kraft— wie weit nach vorne er mit jedem Stoß zur Seite kommt.

Den Leistungssportler unter den Skatern erkennen wir daran, dass er die Hände auf den Rücken legt, womit wenigstens die Arme nicht zur Seite pendeln.

Läufer

Lange Haare wedeln von Weitem sichtbar wie eine Fahne. Beim Läufer —bei der Läuferin— flattern sie mit ungefähr der doppelten Frequenz wie beim Skater. Bei den Läufern —abgesehen von einigen Frauen, die großen Wert darauf legen, dass dies eben nicht passiert— bewegt sich der Schwerpunkt auf und ab.

Da ist die vermeintliche Klavierspielerin, deren Oberarme links und rechts am Oberkörper festgeschraubt scheinen und die mit den Unterarmen einen Winkeln von exakt 90° bilden. Letztere hüpfen auf und ab und ihr Handgelenke spielen einen vorgestellten Basketball.

Radfahrer

Der Radfahrer stellt unsere Augen auf die Probe, denn das Rad fixiert  den Körper an drei Punkten an den Rahmen: Po, Händen und Füßen. Damit sind auch alle anderen Körperteile in ihren Bewegungen eingeschränkt und viele der —in diesem Fall perfekten— Kreise sind nur sichtbar, wenn sie  sie an uns vorüber ziehen. Doch mit etwas Übung sehen wir das Rad noch lange mit jedem Tritt zur Seite schwingen.
Für den Mangel an Komplexität entschädigen mich die Pedale, Räder, Tretkurbeln und Ventile mit absolut perfekten Kreisen.

Stehende Wellen

Wenn die Kleidung es zulässt, können wir über all diese vielfältigen Bewegungsfraktale hinaus drei Sinuswellen in ihrer Gesamtheit so sehen, wie wir auch Bäume sehen:

• Eine vertikale, von der die Colaflasche inspiriert scheint.
• Die Po-Partie und last but noch least,
• die Namensgeberin der Sinuswelle: Sinus: lat.: Brust, Bogen, Bausch.

Was nicht heißen soll, dass wenigstens diese drei stillstehen würden. Nein: wie im Augsburger Puppentheater die Plastikplane, die das Meer darstellen soll, auf denen Jim-Knopf mit Emma fährt, sind sogar diese „sichtbaren“ Wellen immer in Bewegung.

Schönheit vs. Komplexität

Im Gegensatz zu Verzweigungsfraktalen sind Bewegungsfraktale nicht automatisch schön. Ganz im Gegenteil: Nur bei einigen wenigen scheinen alle Sinuswellen wie die Zähne eines Uhrwerk harmonievoll ineinander zu greifen. Die wenigsten laden zu gedankenfreiem Staunen sein. Die meisten  schicken den analytischen Geist auf Mustersuche. Jedes Körper-Mobile ist so einzigartig wie ein Fingerabdruck. Schon lange, bevor wir Gesichtszüge erkennen können, wissen wir, dass wir diesem Muster schon einmal begegnet sind.

Einfach jeder, dem ich auf der Außenbahn begegne, schwingt auf seine eigene Weise.

Acoustic Fractals

Last but noch least gibt  es noch eine dritte Gruppe von Fraktalen. Für das Unbewusste sind sie überall:

Eine Gitarrenseite schwingt und beschreibt eine halbe Sinus-Welle. Erzeugen wir in ihrer Mitte einen künstlichen Knoten indem wir die Saite an dieser Stelle sanft am Schwingen hindern, verdoppelt sie die Frequenz und klingt eine Oktave höher. Wir können die Saite auch dreimal so schnell schwingen lassen (=noch einmal eine Quinte höher) oder viermal, und so weiter.

Doch auch ohne dass ich künstlich Knoten erzeugen würde, schwingen —fast hätte ich gesagt… immer alle. Das das stimmt nicht ganz: Ich will Wikipedia zitieren:
„Der spezifische Klang eines Instrumentes ergibt sich aus den Antworten auf folgende Fragen:

• Welche Obertöne sind überhaupt vorhanden?
• Wie laut sind diese Obertöne im Verhältnis zueinander?
• Wie ändern sich die Lautstärke und Frequenz der einzelnen Obertöne, während der Ton erklingt?
• Welche Nebengeräusche (Anschlaggeräusche, Blasgeräusche …) kommen hinzu?

Folgende Instrumente haben einen besonders charakteristischen Teiltonaufbau:

• Streichinstrumente besitzen ein sehr reichhaltiges Teiltonspektrum.
• Klarinetten betonen die Lautstärke der ungeraden Teiltöne.
• Beim Fagott ist der Grundton sehr viel schwächer als die ersten Obertöne.
• Glocken betonen oftmals die Terzen sehr stark und die Obertonzusammensetzung ist komplex.
• Stimmgabeln erzeugen fast nur den Grundton.

Jeder Ton ist Klang und jeder Klang ist ein Fraktal. Und selbst inmitten eines ganzen Orchesters erkenne ich die Oboe an ihrer spezifischen Obertonreihe, ohne deren Aufbau je gelernt zu haben. Auch ihre Melodie ist ein In- und Nacheinander von Fraktalen. Wie viel komplexer als ein Baum oder das Flugfeld mit all seinen Sportlern mag das ganze Stück des Orchesters sein.

Und ich beginne zu verstehen, warum es keinen Menschen gibt, für den Musik und Rhythmus nicht auf irgend eine Weise wichtig wäre. Denn als Embryo in meinen ersten Lebensmonaten war ich eingebettet in so einen Chor von Rhythmen und Geräuschen unterschiedlichster Frequenz und hatte neun Monate Zeit zuzuhören:

• Dem Herzschlag, (dessen Veränderung selbst nochmal einer Sinusschwingung folgt)
• dem Strömen des Blutes
• den perestaltischen Bewegungen
• der Ausdehnung von Gasen
• den Geräuschen, die durch die Bauchdecke dringen

Auf ein Wort zur Namensgebung

Fraktale sind die Lieblingsspeise des Gehirns. Als bestimmendes Adjektiv  der Pädagogik  „Fraktales Lernen“ sind sie vielerlei zugleich:

Das Gehirn liebt Muster. Und je mehr davon wir ihm anbieten, desto leichter fällt es ihm, Verbindungen zu zieh’n. Da der Begriff Muster sehr subjektiv ausgelegt werden kann, taugt er leider nicht als ein Kriterium für Qualität. Überhaupt ist es unmöglich, diese im Lehr-Material selbst fest zu machen. Denn alleiniger Maßstab ist immer nur das Kind: nur wenn wirklich jedes Kind versteht, ohne dass wir Druck erzeugen, dürfen wir zufrieden sein.
In ein oder zwei Bereichen scheint das Ziel erreicht. Die Trigonometrie zum Beispiel verstehen bereits (alle) SchülerInnen der fünften Jahrgangs-stufe in weniger als einer halben Stunde. Sie eignet sich deshalb hervorragend, um Herzen auf zu schließen, auch wenn die „Drei-winkel-Messung“ noch lange nicht im offiziellen Lehrplan steht.
Fraktale sind in Kontext „Lernen“ so etwas wie ein Stern, nach dem wir uns ausrichten; so etwas wie ein unerreichbares Symbol, das verhindert, dass wir schon dann zufrieden sind, wenn der Prozentsatz derer, die sofort verstehen, steigt.

Fraktale sind zweitens so etwas wie die großen Geschwister des Sinnesmaterials der Montessori-Pädagogik. Sie erinnern uns daran, dass jedes Verstehen immer zuerst sinnlich ist; daran, dass es nicht reicht, wenn Verstand (des Pädagogen) Verstand (des Schülers) adressiert; daran, dass Lernen immer dann am besten funktioniert, wenn das Gehirn sich nicht im Krieg befindet.

Der hochbegabte Cosmin brachte vor Glück kein Wort heraus, als er nach mehr als einer halben Stunde die gesuchte unsichtbare Linie fand. Fraktale können uns Symbol dafür sein, was jeder gute Unterricht schenken muss: Glück. Ein lateinisches Sprichwort sagt: Non scolae sed vitae discimus. Übersetzt heißt das wörtlich: Nicht für die Schule lernen wir, sondern für das Leben. „Leben“ meint hier die Zeit nach der Schule. Dieses Motto hebt den Zeigefinger und erinnert den Schüler daran, dass er besser daran täte, anzunehmen, was ihm die Schule präsentiert. Denn schließlich will er später glücklich sein. Fraktale mahnen den Lehrer, dass Lernen immer sofort belohnen muss. Denn Tiere leben nunmal in der Gegenwart:

„Unterrichtet nicht den Menschen, unterrichtet das Tier.“

Die Neurobiologie